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3.1.1: Exercícios 3.1


Termos e Conceitos

Exercício ( PageIndex {1} )

É possível resolver uma declaração cúbica?

Responder

Sim, mas pode ser bastante difícil, especialmente se tiver muitos parâmetros.

Exercício ( PageIndex {2} )

Quais são os tipos de soluções possíveis ao resolver uma afirmação quadrática?

Responder

2 raízes reais distintas; 1 raiz real repetida; um par de raízes conjugadas complexas.

Exercício ( PageIndex {3} )

Qual é o número máximo de soluções diferentes que uma declaração de sétimo grau pode ter?

Responder

7

Exercício ( PageIndex {4} )

T / F: Uma declaração cúbica pode ter apenas soluções complexas. Explique.

Responder

F; deve ter pelo menos uma solução real, uma vez que soluções complexas vêm em pares

Problemas

Nos exercícios ( PageIndex {5} ) - ( PageIndex {10} ), determine o tipo de declaração em termos da variável fornecida.

Exercício ( PageIndex {5} )

(x ^ 3y + 2x ^ 2yz-6xz ^ 2 = yz ^ 2 -10 ) em termos de (x )

Responder

cúbico

Exercício ( PageIndex {6} )

(x ^ 3y + 2x ^ 2yz-6xz ^ 2 = yz ^ 2 -10 ) em termos de (y )

Responder

linear

Exercício ( PageIndex {7} )

(x ^ 3y + 2x ^ 2yz-6xz ^ 2 = yz ^ 2 -10 ) em termos de (z )

Responder

quadrático

Exercício ( PageIndex {8} )

(xt + cos {( theta)} = x ^ 4t ^ 3-6t ) em termos de ( theta )

Responder

trigonométrico

Exercício ( PageIndex {9} )

(xt + cos {( theta)} = x ^ 4t ^ 3-6t ) em termos de (x )

Responder

quártico, ou uma declaração de grau 4

Exercício ( PageIndex {10} )

(xt + cos {( theta)} = x ^ 4t ^ 3-6t ) em termos de (t )

Responder

cúbico

Nos exercícios ( PageIndex {11} ) - ( PageIndex {19} ), determine se é possível resolver o enunciado para a variável dada. Se for possível, resolva, mas não simplifique sua (s) resposta (s). Se não for possível, explique o porquê.

Exercício ( PageIndex {11} )

(xy ^ 2-xy = 5y-3x ) para (x )

Responder

É possível resolver; (x = displaystyle frac {5y} {y ^ 2-y + 3} )

Exercício ( PageIndex {12} )

(xy ^ 2-xy = 5y-3x ) para (y )

Responder

( displaystyle frac {x + 5 pm sqrt {-11x ^ 2 + 10x + 25}} {2x} )

Exercício ( PageIndex {13} )

(3t ^ 2-5mq = 8qt + 2m ^ 3 ) para (q )

Responder

É possível resolver; (q = displaystyle frac {3t ^ 2-2m ^ 3} {8t + 5m} )

Exercício ( PageIndex {14} )

(2a ^ 2bc ^ 3 + 3abc ^ 2 + 4a ^ 2c ^ 2-3b = 4c ) para (a )

Responder

É possível resolver; (a = displaystyle frac {- (3bc ^ 2) pm sqrt {(3bc ^ 2) ^ 2 - 4 (2bc ^ 3 + 4c ^ 2) (- 3b-4c)}} {2 (2bc ^ 3 + 4c ^ 2)} )

Exercício ( PageIndex {15} )

(2a ^ 2bc ^ 3 + 3abc ^ 2 + 4a ^ 2c ^ 2-3b = 4c ) para (b )

Responder

É possível resolver; (b = displaystyle frac {4c-4a ^ 2c ^ 2} {2a ^ 2c ^ 3 + 3ac ^ 2-3} )

Exercício ( PageIndex {16} )

(2a ^ 2bc ^ 3 + 3abc ^ 2 + 4a ^ 2c ^ 2-3b = 4c ) para (c )

Responder

É possível resolver; mas exigiria o uso da fórmula da raiz cúbica

Exercício ( PageIndex {17} )

( log_2 {(xy) = x + e ^ z} ) para x

Responder

Não é possível resolver para x; está dentro de um logaritmo e tem um termo linear

Exercício ( PageIndex {18} )

( log_2 {(xy) = x + e ^ z} ) para y

Responder

É possível resolver; ( displaystyle y = 2 ^ {x + e ^ z-log_2 {(x)}} ) ou ( displaystyle y = frac {2 ^ {x + e ^ z}} {x} )

Exercício ( PageIndex {19} )

( log_2 {(xy) = x + e ^ z} ) para z

Responder

É possível resolver; ( displaystyle z = ln {[log_2 {(xy)} -x]} )

Nos exercícios ( PageIndex {20} ) - ( PageIndex {28} ), resolva para (x ). Certifique-se de listar todos os valores possíveis de (x ).

Exercício ( PageIndex {20} )

(x ^ 2-16 = 0 )

Responder

(x = -4,4 )

Exercício ( PageIndex {21} )

(x ^ 2 + 16 = 0 )

Responder

(x = -4i, 4i )

Exercício ( PageIndex {22} )

(x ^ 2-4x-7 = 2 )

Responder

(x = 2 + sqrt {13}, 2- sqrt {13} )

Exercício ( PageIndex {23} )

(x ^ 2-2x + 7 = 2 )

Responder

(x = 1 + 2i, 1-2i )

Exercício ( PageIndex {24} )

(5x ^ 2 + 2x = -1 )

Responder

( displaystyle x = frac {-1 + 2i} {5}, frac {-1-2i} {5} )

Exercício ( PageIndex {25} )

(x ^ 3 = 8 )

Responder

(x = 2 )

Exercício ( PageIndex {26} )

(x ^ 3 + x ^ 2 = 4x + 4 )

Responder

(x = -2, -1, 2 )

Exercício ( PageIndex {27} )

(2 (x-3) ^ 2-7 = -4x + 9 )

Responder

(x = 2- sqrt {3}, 2+ sqrt {3} )

Exercício ( PageIndex {28} )

((x + 2) ^ 3 = 2x ^ 2 + 8x + 7 )

Responder

( displaystyle x = -1, frac {-3+ sqrt {5}} {2}, frac {-3- sqrt {5}} {2} )

Nos exercícios ( PageIndex {29} ) - ( PageIndex {33} ), classifique o (s) tipo (s) de solução (ões) do exercício dado.

Exercício ( PageIndex {29} )

Exercício 3.1.1.20

Responder

Duas soluções reais

Exercício ( PageIndex {30} )

Exercício 3.1.1.21

Responder

Um par de conjugado complexo

Exercício ( PageIndex {31} )

Exercício 3.1.1.22

Responder

Duas soluções reais

Exercício ( PageIndex {32} )

Exercício 3.1.1.25

Responder

Uma solução repetida

Exercício ( PageIndex {33} )

Exercício 3.1.1.26

Responder

Três soluções reais


3.1.1: Exercícios 3.1

Seguiremos em parte a prova do Lindeberg CLT dada em aula. Primeiramente, derivamos a função característica de um Bernoulli r.v. X com probabilidade de sucesso:

Agora, sejam variáveis ​​aleatórias de Bernoulli independentes com probabilidade de sucesso e put =. A função característica de é

Queremos mostrar que isso converge para a função característica da distribuição de Poisson com média. Vamos derivar o que é essa função característica. Se T for Poisson com média, então

Uma vez que = e exponenciação é uma função contínua, segue-se que

Agora gostaríamos de aplicar o Lema da classe que foi usada na prova do Lindeberg CLT, a saber:

Veja Lema 1 na seção 27 de Billingsley. Agora

uma vez que é a função característica de um Bernoulli r.v. (as funções características são sempre limitadas por 1 no módulo). Similarmente,

uma vez que é a função característica de um Poisson r.v. com média. Assim, obtemos de (10) e Lema 1.1 sem mais dificuldade que

vemos que as somas em (14) são simplesmente os restos na expansão de Taylor de primeira ordem de em. Não é necessariamente tão fácil estimar o que é esse resto, uma vez que é um número complexo geral, ou seja, tem partes reais e imaginárias diferentes de zero. Sabemos como é o resto para as expansões da série de Taylor de uma variável real, mas não uma variável complexa geral.

No entanto, vamos supor que o restante tenha a mesma ordem, ou seja,

Assim, existe um M tal que e um tal que

Queremos aplicar este resultado a =. Recebemos na condição (ii) que 0 como. Uma vez que e, a condição (ii) é a mesma que simplesmente 0. Assim,

Então existe tal que para todos,

e, portanto, para todo e qualquer j,,

Usando isso em (14), obtemos

Isso comprova (8), então para completar o problema precisamos verificar (16).

Agora nos voltamos para a prova (16). Este é um resultado bem conhecido em variáveis ​​complexas, mas pode-se mostrá-lo com um argumento de variável real aplicado às partes real e imaginária. Denote um número complexo z por z = onde e são reais. Agora = = =. Além disso, nós sabemos

Uma vez que, é claro, pode ser substituído por. Desse modo,

Aqui, a equação (29) segue simplesmente multiplicando os termos. A Equação (30) segue uma vez que = as, e


3.1.1: Exercícios 3.1

Para ver por que essa expressão funciona, a primeira parte consiste em todas as strings em que cada 1 é seguido por um 0. A isso, temos apenas de adicionar a possibilidade de que haja um 1 no final, que não será seguido por um 0. Esse é o trabalho de (& # 949 + 1).

Agora, podemos repensar a questão como pedindo strings que tenham um prefixo sem 1s adjacentes seguido por um sufixo sem 0s adjacentes. A primeira é a expressão que desenvolvemos e a última é a mesma expressão, com 0 e 1 trocados. Assim, uma solução para este problema é (10 + 0) * (& # 949 +1) (01 + 1) * (& # 949 +0). Observe que o termo & # 949 + 1 no meio é realmente desnecessário, pois uma correspondência 1 desse fator pode ser obtida a partir do fator (01 + 1) *.

Exercício 3.1.4 (a)

Exercício 3.1.5

Soluções para a Seção 3.2

Exercício 3.2.1

Parte (b): Aqui todos os nomes de expressão são R (1), novamente listamos apenas os subscritos. R11 = 1 * R12 = 1 * 0 R13 = phi R21 = 11 * R22 = & # 949 + 11 * 0 R23 = 0 R31 = phi R32 = 1 R33 = & # 949 + 0.

Parte (e): Aqui está o diagrama de transição:

Se eliminarmos o estado q2, obtemos:

Aplicando a fórmula no texto, a expressão para as maneiras de ir de q1 a q3 é: [1 + 01 + 00 (0 + 10) * 11] * 00 (0 + 10) *

Exercício 3.2.4 (a)

Exercício 3.2.6 (a)

Exercício 3.2.6 (b)

Exercício 3.2.8

Base: R 0 ij1 é o número de arcos (ou mais precisamente, rótulos de arco) do estado i ao estado j. R 0 ii0 = 1, e todos os outros R 0 ijm são 0.

Indução: R (k) ijm é a soma de R (k-1) ijm e a soma de todas as listas (p1, p2. Pr) de inteiros positivos que somam m, de R (k-1) ikp1 * R ( k-1) kkp2 * R (k-1) kkp3 *. * R (k-1) kkp (r-1) * R (k-1) kjpr. Observe que r deve ser pelo menos 2.

A resposta é a soma de R (k) 1jn, onde k é o número de estados, 1 é o estado inicial ej é qualquer estado de aceitação.


Soluções NCERT para a Classe 6, Exercício de Matemática 3.1

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3.1.1: Exercícios 3.1

Sejam (f (n) ) e (g (n) ) funções assintoticamente não negativas. Usando a definição básica de ( Theta ) - notação, prove que ( max (f (n), g (n)) = Theta (f (n) + g (n)) ).

(f (n) ) e (g (n) ) sendo funções assintoticamente não negativas significa que (0 leq f (n) ) e (0 leq g (n) ) que implica:

Tirar o máximo de dois números inteiros resulta em um desses dois valores que nos dá (f (n) leq max (f (n), g (n)) ) e (g (n) leq max (f (n), g (n)) ) e implica ( frac <2> leq max (f (n), g (n)) ). Podemos combinar isso com nossa desigualdade acima, primeiro multiplicando ambos os lados por ( frac <1> <2> ):

Por último, ( max (f (n), g (n)) ) é sempre menor ou igual à soma de seus dois termos (já que sabemos que eles não são negativos). Isso nos diz ( max (f (n), g (n)) leq f (n) + g (n) ). Isso nos dá a seguinte desigualdade:

[0 leq frac <2> leq max (f (n), g (n)) leq f (n) + g (n) ]

Qual é a definição de ( Theta ) - notação com (c_1 = frac <1> <2> ) e (c_2 = 1 ).


3.1.1: Problemas Práticos - Química Nuclear e Decaimento Radioativo (Opcional)

Escreva a notação de nuclídeo, incluindo carga, se aplicável, para átomos com as seguintes características:

  1. 25 prótons, 20 nêutrons, 24 elétrons
  2. 45 prótons, 24 nêutrons, 43 elétrons
  3. 53 prótons, 89 nêutrons, 54 elétrons
  4. 97 prótons, 146 nêutrons, 97 elétrons

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Qual dos seguintes núcleos está dentro da faixa de estabilidade?

  1. cloro-37
  2. cálcio-40
  3. 204 Bi
  4. 56 Fe
  5. 206 Pb
  6. 211 Pb
  7. 222 Rn
  8. carbono-14

Qual dos seguintes núcleos está dentro da faixa de estabilidade?

  1. argônio-40
  2. oxigênio-16
  3. 122 Ba
  4. 58 Ni
  5. 205 Tl
  6. 210 Tl
  7. 226 Ra
  8. magnésio-24

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Escreva uma breve descrição ou definição de cada um dos seguintes:

  1. núcleon
  2. partícula alfa
  3. partícula & beta
  4. pósitron
  5. &raio gama
  6. nuclídeo
  7. Número de massa
  8. número atômico

termo coletivo para prótons e nêutrons em um núcleo

(& alpha ou ( ce <^ 4_2He> ) ou ( ce <^ 4_2 & alpha> )) núcleo de hélio de alta energia um átomo de hélio que perdeu dois elétrons e contém dois prótons e dois nêutrons

antipartícula ao elétron tem propriedades idênticas às de um elétron, exceto por ter a carga oposta (positiva)

(& gamma ou ( ce <^ 0_0 & gamma> )) radiação eletromagnética de alta energia e comprimento de onda curto que exibe dualidade onda-partícula

núcleo de um isótopo particular

soma dos números de nêutrons e prótons no núcleo de um átomo

número de prótons no núcleo de um átomo

Complete cada uma das seguintes equações adicionando as espécies ausentes:

  1. ( ce <^ <27> _ <13> Al + ^ 4_2He & # 10230 :? + ^ 1_0n> )
  2. ( ce <^ <239> _ <94> Pu + ,? & # 10230 ^ <242> _ <96> Cm + ^ 1_0n> )
  3. ( ce <^ <14> _7N + ^ 4_2He & # 10230 :? + ^ 1_1H> )
  4. ( ce <^ <235> _ <92> U & # 10230 :? + ^ <135> _ <55> Cs + 4 ^ 1_0n> )

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Complete cada uma das seguintes equações:

Escreva uma equação balanceada para cada uma das seguintes reações nucleares:

  1. a produção de 17 O de 14 N por bombardeio de partículas alfa
  2. a produção de 14 C a partir de 14 N por bombardeio de nêutrons
  3. a produção de 233 Th a partir de 232 Th por bombardeio de nêutrons
  4. a produção de 239 U a partir de 238 U por ( ce <^ 2_1H> ) bombardeio

Clique aqui para um vídeo da solução

Tecnécio-99 é preparado a partir de 98 Mo. Molibdênio-98 combina com um nêutron para dar molibdênio-99, um isótopo instável que emite uma partícula beta para produzir uma forma excitada de tecnécio-99, representada como 99 Tc *. Este núcleo excitado relaxa para o estado fundamental, representado como 99 Tc, emitindo um raio & gama. O estado fundamental do 99 Tc então emite uma partícula & beta. Escreva as equações para cada uma dessas reações nucleares.

Que mudanças ocorrem no número atômico e na massa de um núcleo durante cada um dos seguintes cenários de decaimento?

  1. uma partícula alfa é emitida
  2. uma partícula & beta é emitida
  3. radiação gama é emitida
  4. um pósitron é emitido
  5. um elétron é capturado

Uma vez que uma partícula alfa é igual a um núcleo ( ce <^ 4_2He> ), o número de massa diminuirá em 4 e o número atômico diminuirá em 2.

Uma vez que uma partícula & beta é igual a ( ce <^ 0_ <-1> e> ), o número de massa não vai mudar, mas o número atômico vai aumentar por 1.

Como um raio gama não tem massa (é energia), o número de massa e o número atômico não mudam.

Um pósitron é o oposto de uma partícula & beta, é ( ce <^ 0 _ <+ 1> e> ), o número de massa não mudará, mas o número atômico diminuirá em 1

A captura de elétrons tem o mesmo efeito no núcleo que a emissão de pósitrons: o número atômico diminui em um e o número de massa não muda.

Qual é a mudança no núcleo que resulta dos seguintes cenários de decaimento?

conversão de um nêutron em próton: ( ce <^ 1_0n & # 10230 ^ 1_1p + ^ 0 _ <+ 1> e> )

conversão de um próton em um nêutron, o pósitron tem a mesma massa de um elétron e a mesma magnitude de carga positiva que o elétron tem carga negativa

quando a razão n: p de um núcleo é muito baixa, um próton é convertido em um nêutron com a emissão de um pósitron: ( ce <^ 1_1p & # 10230 ^ 1_0n + ^ 0 _ <+ 1> e> )

Em um núcleo rico em prótons, um elétron atômico interno pode ser absorvido. Na forma mais simples, isso transforma um próton em um nêutron: ( ce <^ 1_1p + ^ 0_ <-1> e & # 10230 ^ 1_0p> )

Explique como nuclídeos pesados ​​instáveis ​​(número atômico & gt 83) podem se decompor para formar nuclídeos de maior estabilidade se

(a) eles estão abaixo da faixa de estabilidade e

(b) eles estão acima da faixa de estabilidade

Os núcleos abaixo da banda de estabilidade sofrerão decaimento de pósitrons, enquanto aqueles acima da banda de estabilidade sofrerão decaimento beta. Núcleos pesados ​​além da banda de estabilidade sofrerão decadência alfa

Qual dos seguintes núcleos tem maior probabilidade de decair por emissão de pósitrons? Explique sua escolha.

O manganês-51 tem maior probabilidade de se decompor pela emissão de pósitrons. A proporção n: p para Cr-53 é ( dfrac <29> <24> ) = 1,21 para Mn-51, é ( dfrac <26> <25> ) = 1,04 para Fe-59, é ( dfrac <33> <26> ) = 1,27. A decadência de pósitrons ocorre quando a razão n: p é baixa. Mn-51 tem a relação n: p mais baixa e, portanto, é mais provável que decaia pela emissão de pósitrons. Além disso, ( ce <^ <53> _ <24> Cr> ) é um isótopo estável, e ( ce <^ <59> _ <26> Fe> ) decai por emissão beta.

Os seguintes núcleos não se encontram na faixa de estabilidade. Como eles deveriam se deteriorar? Explique sua resposta.

Acima da banda de estabilidade, o decaimento beta é esperado

Além da banda de estabilidade, os núcleos pesados ​​sofrem decaimento alfa

Abaixo da banda de estabilidade, o decaimento do pósitron é esperado

Acima da banda de estabilidade, o decaimento beta é esperado

Além da banda de estabilidade, os núcleos pesados ​​sofrem decaimento alfa

Escreva uma reação nuclear para cada etapa na formação de ( ce <^ <218> _ <84> Po> ) de ( ce <^ <238> _ <92> U> ), que prossegue por uma série de reações de decaimento envolvendo a emissão gradativa de partículas alfa, beta, beta, alfa, alfa, alfa e alfa, nessa ordem.

Escreva uma reação nuclear para cada etapa na formação de ( ce <^ <208> _ <82> Pb> ) de ( ce <^ <228> _ <90> Th> ), que prossegue por uma série de reações de decaimento envolvendo a emissão gradativa de partículas alfa, alfa, alfa, alfa, beta, beta e alfa, nessa ordem.


Bump dns-packet de 1.3.1 a 1.3.4 no / coding-exercício # 118

Dependabot resolverá quaisquer conflitos com este PR, desde que você não o altere. Você também pode acionar um rebase manualmente comentando @dependabot rebase.

Comandos e opções Dependabot

Você pode acionar ações do Dependabot comentando sobre este PR:

  • @dependabot rebase irá realocar este PR
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  • @dependabot reabrir irá reabrir este PR se estiver fechado
  • @dependabot close fechará este PR e parará de recriá-lo pelo Dependabot. Você pode obter o mesmo resultado fechando-o manualmente
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Você pode desativar os PRs de correção de segurança automatizados para este repositório na página Alertas de segurança.


Q: Se | 4 = 4 e 4, B são matrizes 3x 3, det 33) * A> -. O que é B?

R: Clique para ver a resposta

Q: (3) Se um projétil for lançado ao ar a 29,4 pés por segundo de uma altura de 60 pés, é h.

Q: (a) Enuncie o valor de [I-1 (b) Sejam f, g: Zx Z → Z × Z duas funções definidas como segue: f (a, b) =.

R: Como você fez várias perguntas, resolveremos a primeira para você. Se você quiser algum sp.

Q: Resolva apenas a parte (iii). Por favor, mostre as etapas completas.

R: na parte (iii) temos que encontrar o ponto KKT e o valor mínimo da função. Para isso, impomos t.

Q: Encontre a representação da série de potências para a função dada: 1 f (x): (1 + x²) ²

A: A série de potências da função é representada por: f (x) = ∑n = 0∞anxn Onde an & # x27s são coeficientes. Também sabemos.

Q: Q1 // Use o método da fase de reboque para resolver o modelo matemático (Pare na Tabela 1 no Estágio Dois) MinZ = x, -2.

A: Pergunta: Min Z = x1-2x2 Sujeito a x1 + x2≥2-x1 + x2≥10x1 + x2≤3x1, x2≥0 Use o método de duas fases (pare na Tabela.

Q: y (n + 2) + 2y (n + 1) + y (n) = n onde y (1) = y (0) = 0

R: Esta é a equação de diferença de ordem dois. resolvemos isso encontrando uma solução de separação homogênea.

Q: Se G é um conjunto aberto no plano complexo ef: G → C é diferenciável, então em G, f é: إختر أحد الخيا.

R: Clique para ver a resposta

Q: Mostre que a solução da equação YUx - xUy = 0 contendo a curva x² + y² = a², u = y, faz n.

R: Dado que y ux - x uy = 0, a equação auxiliar de Lagrange para a equação dada é dada como: Pp.


NCERT Solutions classe 12 Exercício de Matemática 3.1

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